Odkrywamy tajniki teorii próbkowania: Relacja między twierdzeniem Kotelnikowa-Shannona a aliasingiem

Fri Dec 30, 2011 4:29 pm   

Chciałbym rozwiać moje wątpliwości dotyczące teorii próbkowania
sygnałów.

Czy dobrze rozumiem, że twierdzenie Kotielnikowa-Shannona mówi, że
mając sygnał, którego nie posiada składowych o częstotliwości równej i
większej niż B (czyli z przedziału (-B,B)) oraz jeśli mamy
nieskończony ciąg próbek pobierany w odstępach czasy 1/2B indeksowany
od -nieskończoność do +nieskończoność, to możemy dokładnie odtworzyć
sygnał próbkowany.
Dowód rozumiem tak:
1. x(t) (próbkowany sygnał) możemy przedstawić jako całkę ze wzoru na
FFT.
2. Przedział całkowania możemy ograniczyć do (-B,B).
3. Jeśli podstawimy za t=n/2B, gdzie n od -nieskończoność do
+nieskończoność, to całka FFT dla f(n/2B) ma postać współczynnika
zespolonego szeregu Fouriera o indeksie n.
(Źródło: http://en.wikipedia.org/wiki/Nyquist%E2%80%93Shannon_sampling_theorem
)

Stąd mając taki nieskończony ciąg próbek indeksowany od -
nieskończoność do +nieskończoność, podstawiając próbki w miejsce
współczynników we wzorze na zespolony szereg Fouriera, możemy uzyskać
funkcję okresową o okresie 2B, która w przedziale (-B,B) przyjmuje te
same wartości, co widmo częstotliwości naszego sygnału.
Biorąc z tej funkcji tylko przedział (-B,B), możemy dokładnie
odtworzyć nasz próbkowany sygnał.

Czyli twierdzenie to mówi tylko o sygnałach, które zawierają
częstotliwości mniejsze niż częstotliwość próbkowania.
Nie mówi (!) natomiast co dzieje się, gdy sygnał zawiera składowe o
częstotliwościach większych lub równych częstotliwości próbkowania.
Tutaj wchodzi odrębne pojęcie aliasingu, które mówi, że jeśli w
sygnale mamy częstotliwość składową f_0 większą niż częstotliwość
próbowania f_s, to po przepuszczeniu przez transformatę Fouriera lub
DFT będzie ona rozpoznana jako składowa o częstotliwości f = |n * f_s
- f_0], gdzie n * f_s to wielokrotność częstotliwości próbkowania
leżąca najbliżej f_0.

Jeśli moje powyższe rozumowanie jest poprawne, to nie rozumiem jeszcze
relacji zachodzącej pomiędzy twierdzeniem Kotelnikowa-Shannona, a DFT.
Z definicji aliasingu wnioskuję tylko, że jeśli częstotliwość
próbkowania jest >= od największej składowej, to aliasing nie wystąpi.
Ale co z odtwarzalnością sygnału? W twierdzeniu korzystam z FT i
zespolonego szeregu Fouriera, a tutaj jest DFT i IDFT.

Oczywiście aliasing może w FT i DFT występować, ale co ma do tego
powyższe twierdzenie?

Łopatologicznie proszę.

Fri Dec 30, 2011 7:07 pm   

Użytkownik "pbartosz" napisał w wiadomości grup

Cos tu nadinterpretujesz.
Transformata DFT z ograniczonej liczby probek, czyli z pewnego
przedzialu czasowego, jest tak naprawde transformata Fouriera
przebiegu okresowego, o okresie rownym temu przedzialowi.
I to nie jest tozsame z przebiegiem o pojedynczym impulsie.

Co dokladnie mowi twierdzenie K-Sh, to trzeba matematykow spytac - oni
lubia znac dowod i dokladne zalozenia.

A na pewno trzeba uwazac zeby taki okresowy przebieg spelnial
zalozenia, czyli tez mial ograniczone pasmo, co naklada pewne warunki
na podobienstwo prawej i lewej strony przebiegu w pojedynczym
przedziale calkowania (rowne wartosci graniczne i chyba wszystkie
pochodne tez rowne).


Zasada GIGO - smieci na wejsciu daja smieci na wyjsciu :-)

J.

Mon Jan 02, 2012 12:51 am   

W dniu 2011-12-30 15:29, pbartosz pisze:

W tym i poniższym kontekście może lepiej to (do)określić przez słowo
"jednoznacznie".


Nie mówi, bo wtedy nie da się jednoznacznie określić rzeczywistej
częstotliwości f_0>fs/2 "analogowej". Da się natomiast dokładnie podać
szereg prawdopodobnych częstotliwości.



Najpierw f_0 jest próbkowana i już na tym etapie otrzymuje się fafoła w
widmie sygnału. DFT zatem tylko to pokaże w dziedzinie częstotliwości
zamiast czasu.



DFT otrzymuje informację przekłamaną, ale o tym nie wie i przetwarza jak
umie?

Mon Jan 02, 2012 10:40 am   

On pią, 30 gru 2011 15:29:26 in article news:<817abcea-74bd-454b-91a7-e4bb531d889d@z17g2000vbe.googlegroups.com>
pbartosz wrote:

... to po spróbkowaniu z częstością próbkowania Fs składowa o dowolnej
częstotliwości f1 nie jest odróżnialna od składowej f0 w pasmie [0,fs/2)

f0=fs/2-abs(fs/2-mod(f1,fs))


DFT nie ma nic do aliasingu, aliasing następuje już w zdyskretyzonaej dziedzinie
czasu. Np. dla Fs=1 Hz nie odróżnisz na wykresie sinusoid o
częstotliwościach 0.4 0.6 1.4 1.6 ...

Wed Jan 04, 2012 10:46 pm   

Użytkownik "J.F" <jfox_xnospamx@poczta.onet.pl> napisał w wiadomości
news:jdkul1$4h9$1@inews.gazeta.pl...

Znaczy ideał szyfrowania = informacja zaszyfrowana w białym szumie... ???

Feromon

Thu Jan 05, 2012 9:49 am   

Am 04.01.2012 22:46, schrieb Feromon:

odkryłeś właśnie modulację spread spectrum.

Waldek


--
My jsme Borgové. Sklopte štíty a vzdejte se. Odpor je marný.

Thu Jan 05, 2012 2:10 pm   

Użytkownik "Waldemar Krzok" <waldemar@zedat.fu-berlin.de> napisał w
wiadomości news:9ml6heF9ebU1@mid.uni-berlin.de...

NP. CDMA w Sferii?
GSM - z 3 metrów pierdzi w gośnikach telewizora (nie mojego), że pół domu
obudzi. Telefon Sferii przyłożony do tegoż OTV nie wywołuje żadnych
zauważalnych efektów (wypróbowany cały proces od nawiązywania,do zakończenia
połączenia), no, może jak się wsłuchać, to odrobinkę wzrasta szum "tła", co
i tak jest maskowane przez dźwięk audycji. ZTCW, widmo to coś kole 5MHz...?
Bardziej badziewi domowy przenośniak o mocy kilku mW...

--
Pod żadnym pozorem nie zezwalam na wysyłanie mi jakichkolwiek reklam,
ogłoszeń, mailingów, itd., ani nawet zapytań o możliwość ich wysyłki.
Nie przyjmuję ŻADNYCH tłumaczeń, że mój adres e-mail jest ogólnodostępny
i nie został ukryty. Wszelkie próby takich wysyłek potraktuję jako stalking.

Thu Jan 05, 2012 3:51 pm   

L501 aneryS wrote:


To ten kościół ale inna parafia. To, co pierdzi to nie jest modulacja, tylko
ramki. Coby posłuchać jak brzmi sygnał, musiałbyś posłuchać na 900 lub
1800-1900 MHz. Wojsko i wywiad używa fal też krótkich (jako backup
satelitów). Ponieważ najlepiej szyfrować transmisje, których nie słychać,
systemy spread spectrum są używane tam od dłuższego czasu. Po pierwsze nie
wiadomo w jakim zakresie f transmisja ma miejsce, bo wszędzie słychać tylko
statyczny szum. Oprócz tego, jak nie znasz wektora przemiatania to też nic
nie zdekodujesz.

Waldek
--
My jsme Borgové. Sklopte štíty a vzdejte se. Odpor je marný.

Thu Jan 05, 2012 4:41 pm   

Użytkownik "Waldemar Krzok" <waldemar@zedat.fu-berlin.de> napisał w
wiadomości news:9mlrn4FgoqU1@mid.uni-berlin.de...

Przecież jasne jest, że wynika to z przesuwania punktu pracy jakiegoś
stopnia, czy z detekcji sygnału na jakiejś nieliniowości i wynik tego
steruje stopniem wzmacniacza audio...



Rzecz jasna. Ale, jak mocny sygnał wejdzie gdzie nie powinien, to i sąsiad z
CB też będzie usłyszany.


Klucz - nie słychać, bo analizator widma zaraz pokaże, że coś jest. Chyba
nie tak trudno będzie odróżnić, że "coś tam jest" (a co konkretnie i gdzie
konkretnie, to już inna melodia), od np. badziewiącego złącza w podstacji
energetycznej... (bo np. technik sobie trochę popił i skoby na zerze nie
dokręcił porządnie, czy czego tam bądź)?


Nie żądam, aby było inaczej.

--
Pod żadnym pozorem nie zezwalam na wysyłanie mi jakichkolwiek reklam,
ogłoszeń, mailingów, itd., ani nawet zapytań o możliwość ich wysyłki.
Nie przyjmuję ŻADNYCH tłumaczeń, że mój adres e-mail jest ogólnodostępny
i nie został ukryty. Wszelkie próby takich wysyłek potraktuję jako stalking.

Thu Jan 05, 2012 5:33 pm   

L501 aneryS wrote:



To jest częstotliwość pakietów, a nie modulacji w pakietach.



Analizatorem widma nic nie zobaczysz, bo jest biały szum. Prawie.
Nierozróznialny od normalnego szumu na pasmach. Czyli gówno widzisz, gówno
słyszysz.


I tak trzymać.

Waldek

--
My jsme Borgové. Sklopte štíty a vzdejte se. Odpor je marný.

Fri Jan 06, 2012 3:59 am   

Użytkownik "Waldemar Krzok" <waldemar@zedat.fu-berlin.de> napisał w
wiadomości news:9mm1nbFvkhU1@mid.uni-berlin.de...

Nie zobaczę wprost, ale jednak zakłócenie ze zgniłego złącza jest jednak
ciut inne, niż taki biały szum. Zaqwsze będzie jakaś różnica, dająca się
wykryć, ino bez konkretów.


No, mniej-więcej tak. Ale jak się wie, na co zwrócić uwagę... znam kogoś,
kto bezbłędnie na skanerze rozróżniał, czy słyszy tło pasma, czy użyteczny
sygnał (nie pamiętam już co to było, chyba jakieś dane), ja wyłapywałem
jedynie bardzo nikłą różnicę w zabarwieniu szumu. Ale pewnie jakbym dłużej
posiedział przy tym, to bym się "wyuczył". Za to ze swojego zawodu - po
pijaku rozróżniałem, przez jakie centrale się po drodze łączę... aż weszła
technika rejestrowa i ograniczyła możliwości rozpoznania. Potrafiłem na
odległość, po trzaskach w słuchawce, odcyfrować, czy wybierak prawidłowo
próbuje linię, czy ma jakieś problemy - ruch obrotowy przesłuchiwał do
kanału rozmównego i było słychać, czy się zacina, czy nie, o spadaniu poza
pole bez dokonania próby nie mówiąc... (i rzesza innych niuansów). Mechanior
w warsztacie chwilę osłucha silnik i bez przyrządów powie, czy jest w dobrym
stanie, czy zdechnie za zakrętem (przejaskrawienie). itd. Rzeczy, których
laik za cholerę nie rozróżni.

--
Pod żadnym pozorem nie zezwalam na wysyłanie mi jakichkolwiek reklam,
ogłoszeń, mailingów, itd., ani nawet zapytań o możliwość ich wysyłki.
Nie przyjmuję ŻADNYCH tłumaczeń, że mój adres e-mail jest ogólnodostępny
i nie został ukryty. Wszelkie próby takich wysyłek potraktuję jako stalking.

Fri Jan 06, 2012 2:28 pm   

L501 aneryS wrote:


Różnicę w zabarwieniu szumu to ja też słyszę, ale musisz mieć S/N > 1,
inaczej nie usłyszysz. W systemach spread spectrum masz S/N << 1, dlatego
różnica jest niemierzalna, dopóki nie wiesz dokładnie gdzie, kiedy i jak
szukać.

Waldek

--
My jsme Borgové. Sklopte štíty a vzdejte se. Odpor je marný.

Fri Jan 06, 2012 7:44 pm   

Użytkownik "Waldemar Krzok" <waldemar@zedat.fu-berlin.de> napisał w
wiadomości news:9mob8bFh5uU1@mid.uni-berlin.de...

No, czyli różnymi drogami, w różny sposób, widzimy to samo, już rozumiem, o
co chodzi. Kusi mnie powiedzieć, ze nie ma nic za darmo, kojarzy mi się tu
PSK31, który zdaje mi się, muszę sprawdzić, może być ileś dB poniżej tła,
ale warunek, że należy się dokładnie dostroić. ITD, itp, aaale, ja tu
zakończę, bo mnie ręce świerzbią "przelicytować" to, ale im nie pozwolę.
Dzięki za informacje :)

--
Pod żadnym pozorem nie zezwalam na wysyłanie mi jakichkolwiek reklam,
ogłoszeń, mailingów, itd., ani nawet zapytań o możliwość ich wysyłki.
Nie przyjmuję ŻADNYCH tłumaczeń, że mój adres e-mail jest ogólnodostępny
i nie został ukryty. Wszelkie próby takich wysyłek potraktuję jako stalking.

Sat Jan 07, 2012 2:37 pm   

W dniu 06.01.2012 19:44, L501 aneryS pisze:

poniżej poziomu szumu.


--
Pozdrawiam
Michoo

Sat Jan 07, 2012 9:31 pm   

A to ciekawe.
K.