Obliczanie rezystancji zastępczej 2D kratownicy rezystorów dla n=10 i n=100

Thu May 27, 2004 2:06 pm   

Witam wszystkich elektroników!!!


Kolega poprosił mnie o pomoc w rozwiązaniu zadania z teorii obwodów.

Dana jest kwadratowa kratownica:
_ _ _ _ _
|_|_|_|_|_|
|_|_|_|_|_|
|_|_|_|_|_|
|_|_|_|_|_|
|_|_|_|_|_|
_ _ _
|_|_|_|
|_|_|_|
|_|_|_|


każda kreseczka (zarówno pionowa jak i pozioma) to jeden rezystor.
Każdy z nich ma tę samą rezystancję R

Na powyższym rysunku jest przypadek "kratownicy" dla n=4 i dla n=6 (bo sześć
kresek zarówno w pionie jak i w poziomie).
W sumie dla n=4 jest 24 rezystory
Dla n=6 jest 60 rezystorów

Rozpatrujemy tylko przypadki parzystych n.

Zadanie polega na obliczeniu rezystancji zastępczej tego układu widzianej
między przeciwległymi zaciskami w środku tej kratownicy (na głównej
przekątnej kratownicy). Inaczej, jeżeli poprowadzimy
przekątną główną (linię wzdłuż przeciwległych rogów kratownicy, to ona bedzie
przechodzić przez takie małe kwadraciki ("oka sieci"). Nasze punkty leżą
dokładnie w środkowym kwadracie na tej przekątnej.

Jaśniej tego już nie umiem wyjaśnić

W zadaniu nalezy policzyć tę rezystancję dla n=10, 100 i na końcu dla n w
ogólnosci.

Dla bardzo małych n, (4,6) (chociaż dla 6 już z wielkim trudem) można
obliczyć to zadanie stosując przekształcenia gwiazda-trójkąt. Oczywiście
widać, jednak, że tu zupełnie nie o to chodzi.

Postanowiłem zadanie potraktować podobnie jak liczy się rezystancję zastępczą
sieci tranzystorów ułożonych w sześcian. (każda krawędź sześcianu to 1
rezystor) i nalezy tam obliczyć rezystancję między przeciwległymi punktami
takiej sieci (punkty te to końce głównej przekątnej sześcianu).

(kwadrat ABCD to dolna podstawa sześcianu)
(kwadrat EFGH to dolna podstawa sześcianu)
Numeracja wierzchołków przeciwna do ruchu wskazówek zegara

Czyli poszukiwana rezystancja to R AG

W tamtym zadaniu (mówię teraz o sześcianie) zakłada się że do jednego z tych
punktów dopływa prąd o wartości I, a drugim punktem ten prąd wypływa).

zauważam, że U_ag=U_ab+U_bc+U_cg
Przez gałąż ab przepływa prąd 1/3 I
Przez gałąż bc przepływa prąd 1/6 I
Przez gałąż cg przepływa prąd 1/3 I

Czyli: Ua_ag= I * R_ag = I*1/3*R + I*1/6*R + I*1/3*R

Po podzieleniu wychodzi: R_ag = 5/6*R


Tak to wygląda w tamtym zadaniu (niestety tam WSZYSTKO jest symetryczne) tu
w "kratownicy" NIE.

Jeżeli na razie postanowię nie liczyć rezystancji poszukiwanej w zadaniu,
tylko poszukam rezystancji między punktami AG
_ _ _ <----B
|_|_|_|
|_|_|_|
|_|_|_|
^^^
| | |
ACD

Tak jak w zadaniu z sześcianem zakładam, że do punktu A wpływa prąd I, z
punktu B wypływa prąd I.

Wtedy oczywiście prąd na początku rozpływa się symetrycznie (I_ac =1/2 I)

Ale potem już tak łatwo nie jest (bo niestety prąd I_cd =/= 1/4 I)
Wynika to z faktu, że rezystancja układu widziana między punktami CD jest
różna od rezystancji układu między punktami (C i tym wyżej )

Próbowałem jakoś ten prąd uzależniać od budowy sieci, ale to jest Syzyfowa
praca, bo w ten sposób musiałbym przeprowadzić tożsamy rozkład prądów dla
każdej krawędzi.

Tak więc ten pomysł ugryzienia tego zadania upadł, bo tu niestety nie ma
idealnej symetrii (prądy nie połowią się na każdym połączeniu).

Nic nie dało mi również podzielenie układu na dwie półówki (wzdłuż
przekątnej, bo taki podział jest symetryczny) i rozpatrywanie każdej
oddzielnie. Ten pomysł też upadł, bo rezystancja zastępcza takiego czegoś ma
więcej końcówek niż 2.


Kolejny pomysł był taki, żeby znaleźć podobne przekształcenie jak zmiana
trójkąt-gwiazda, tylko że kwadrat w krzyż
_
|_|

^
||
\/

\/
/\

wtedy nasz układ redukowałby się do układu o 1 mniejszego (zamiast n linii
miałby n-1)
_ _ _
|_|_|_|
|_|_|_|
|_|_|_|

/\
||
\/
_
/_|_|_\
|_|_|_|
\ |_| /

/\
||
\/

\/\/\/
/\/\/\
\/\/\/
/\/\/\
\/\/\/
/\/\/\

Ale takie liczenie niestety za bardzo przypomina zwykłe przeliczanie gwiazda-
trójkąt (strasznie rachunki) i zupełnie nie pozwala na dostrzeżene głębszej
zależności.

Zacząłem przeszukiwać siec, na razie tylko polską, ale wyniki są marne.
Po prostu google jest dobry do wyszukiwania popularnych linków, ale
specjalistyczne artykuły (o ile w ogóle są) nie znajduje już z taką
łatwością.

W tym momencie wyczerpały mi się ewentualne pomysły. I przybywam tutaj. Być
może ktoś słyszał coś o takich sieciach. Zna jakiś link do artykułu na ten
temat. Może w jakimś czasopiśmie kiedyś to było.
Słyszałem również, że tego typu zagadnienie jest znane pod
nazwą "sieci......" Niestety nie wiem kogo ;(

Za wszelki ewentualny odzew z góry dziękuję.

PS Domyślam się, że ogólny dowód nie jest prosty i na pewno wymaga
dostrzeżenia kilku "(od razu rzucających się w oczy") faktów, których
niestety ja nie potrafię dostrzec)

PPS Coraz bardziej dochodzę do wniosku, że ruszyłem z motyką na słońce

--
Wysłano z serwisu Usenet w portalu Gazeta.pl -> http://www.gazeta.pl/usenet/

Thu May 27, 2004 2:06 pm   

On Thu, 27 May 2004 13:06:46 +0000 (UTC), Tomek Pędzimąż wrote:


Osobiscie proponuje sie poddac i zobaczyc jak to zrobia inni
Mozesz tez sprobowac poguglac za rozwiazaniem.

Zadanie ogolnie jest trudne, zobacz w archiwum pl.sci.fizyka,
pojawialo sie pare razy w kontekscie nieskonczonej kratownicy.
Niektore uproszczone rozwiazania maja kiepskie podstawy
matematyczne - a takowe pojawialo sie na olimpiadzie fizycznej.

Jest znane pewne ogolne rozwiazanie rozkladu potencjalow, dosc
nietrywialnie wygladajace, wiec pewnie nielatwe do wyprowadzenia.
Dodajac warunki brzegowe dla powyzszego przypadku byc moze podamy
ogolny wzor.


Macie jakiegos sadyste. Proponuje odwrocic role: obkuc sie
teoretycznie, rozwiazac numerycznie [pspice/matlab zalatwi to w
moment] przypadki 2,4,6,8,10,12, rozpisac role i pozwolic, mu na
zaprezentowanie rozwiazania.
Mozna potem kwestionowac kolejne pomysly przez wiele godzin zajec,
i wypocic goscia tak zeby sie nauczyl.


Troche uprosci, ale niewiele pomoze.

Na piewszy rzut do zaciskow podlaczmy potencjaly +U i -U.
Na symetralnej linii miedzy zaciskami bedzie panowal
potencjal 0 - z symetrii.
Mozemy te wezly polaczyc grubym drutem .. i odrzucic polowe siatki -
mierzymy teraz rezystancje miedzy wezlem a tym drutem [i mnozymy
przez 2]
W pozostaly trojkacie nadal panuje symetria, mozemy wiec polaczyc
po dwa symetryczne wezly. Czyli w praktyce mozemy zlozyc trojkat na
pol - bedzie jeden o polowicznych rezystorach.
Zadanie uproscilo sie nam 4 razy.
Mozemy jednak kolejno rozpatrywac przypadki n=2,4,6 ...
po tych uproszczeniach widac ze kolejne rozmiary dodaja dodatkowe
drogi rozplywu pradu. Niestety - im wiecej tym bardziej sie komplikuje
sie rozplyw.

P.S. dosc zgrabnie da sie to wyliczyc numerycznie w excelu - tzn
konkretne przypadki. Ale jak - to zostawiam jako zadanie.

J.

Thu May 27, 2004 2:42 pm   

"Tomek Pędzimąż" <tomekpe@WYTNIJ.gazeta.pl> wrote in message
news:c94p56$2kp$1@inews.gazeta.pl...




Narysyj sobie te kratownicę i obróć rysynek o 45 stopni, rysuj linie poziome
przez węzły.
Górna i dolna połówka są symetryczne, środkowa długa linia jest
ekwipotencjalna i możesz tam zewrzeć wszystkie węzły (oczywiście redukujesz
w ten sposób oporniki) i rozpatrywać tylko górny trójkąt (na końcy wynik
razy 2), W tym trójkącie otrzymasz pewną zależność węzłów ekwipotencjalnych,
które możesz zwierać: są one położone symetrycznie od osi pionowej, czyli
np. na bocznych krawędziach trójkąta, potem o jeden stopień do wewnątrz
itd.. Jest to droga do rozwiązania ....

Roman

Thu May 27, 2004 4:22 pm   

http://studia.fuw.edu.pl/wolne/ele/all/node25.html